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正确计算统计平均数

      平均数是社会经济统计的基本指标与基本方法,在社会经济统计学中占有十分重要的作用,国外一位统计学家曾称:统计学是一门平均数的科学。因此,正确理解、计算、运用统计平均数,是学习社会经济统计的基本要求,也是学好后续统计方法特别是统计指数、统计评价、序时平均数等统计方法的关键。
 统计平均数的计算方法按其资料的时间属性不同,分为静态平均与动态平均,前者属于截面数据的平均,即为一般平均数,后者为时间数列的平均,也称序时平均。序时平均是静态平均方法的具体应用。统计平均数的计算方法按其体现原始数据的充分性不同,主要可分为数值平均与位置平均,前者包括算术平均、调和平均、几何平均、平方平均,它们均有简单式与加权式之分,实践中较常用的是算术平均、调和平均与几何平均。后者则指中位数与众数。这些平均方法与公式具有不同的应用场合或应用条件,实践中必须正确选择。但我们在多年的教学实践中发现,许多初学者往往无法正确区分这些不同平均方法的应用条件,特别是算术平均、几何平均、调和平均的应用条件,从而出现乱套公式的情况。
本文拟通过案例分析,与同学们谈谈如何正确计算算术平均数、调和平均数与几何平均数。
[例1]某企业报告期三个车间的职工人均日产量分别为:50件、65件、70件,车间日总产量分别为800件、650件、1050件。
   要求:计算三个车间的职工每人平均日产量。
[解题过程] 三个车间的职工每人平均日产量=Σm/Σ(m/x)
            =(800+650+1050)/(800/50+650/65+1050/70)
            =2500/41=60.98(件/人)
[解题说明]本题从公式形式上看,是加权调和平均数。从内容上看,属于“统计平均数的平均数计算”,但初学者常常容易犯的错误是乱套公式。最常见的错误是:选择算术平均数公式计算,即以三个车间的日总产量为权数,对三个车间的劳动效率进行算术平均:
(50×800+65×650+70×1050)/(800+650+1050)
=155750/2500
=62.3
另一类错误是采用简单平均公式计算平均产量,即
(50+65+75)/3=63.33。
出现上述两类错误的根源是:没有正确理解社会经济统计中平均数的经济含义。其实,无论资料条件如何,职工人均产量的基本含义永远是:总产量/工人数。因此,本例资料只需要求出三个车间的总产量及三个车间的总人数即可。由所提供的资料可以知道,总产量已经知道了,为(800+650+1050)=2500,而各车间的职工人数却需要推算。因为各车间的总产量与该车间工人数之比即为该车间的人均产量,所以各车间职工人数应该等于总产量与人均产量之对比,三个车间的职工总人数应该为:
(800/50+650/65+1050/70)=41人。
 
 [例2]某企业集团下属的25个企业报告期计划利润计划完成程度如下表所示:

     

      要求:计算25个企业的平均计划完成程度及平均每个企业实现的利润额。
 
[解题过程]
    平均计划完成程度=Σxf/Σf
                    =(800×85%+2200×95%+6000×105%+1000×115%)/10000
                    =10220/10000=102.2%
   平均每个企业实现的利润额=全部企业实现的利润总额/企业个数
                          =10220/25=408.8万元
[解题说明]本例是统计学中比较典型的“相对数的平均数计算”问题。我们所采用的是“加权算术平均数”公式,权数是每一组的计划利润额。常见的错误有这样几种:一种是组中值错误。特别是第一组与最后一组的组中值,有一些初学者常常用90%作为第一组的组中值,用110%作为最后一组的组中值,这是不对的。组中值的一般计算方法是(上限+下限)/2,但对于这类“开口组”,其组中值应该按邻组的组距去推算。故本例第一组的组中值应该取85%,最后一组的组中值应该取115%;第二种错误是用“企业个数”作权数计算平均计划完成程度,这说明没有正确理解平均计划完成程度的含义。其实,作为权数的指标f与变量值x之间的乘积应该具有实际经济意义的,本例若将企业个数与计划完成程度相乘,就不可能得到有实际意义的指标值(某一组的标志总量)。本例只有当各个企业的计划利润全部相同时,才可以以企业个数为权数进行加权算术平均。正如当我们掌握三个企业的计划完成程度时,我们一般不能采用简单算术平均计算它们的平均计划完成程度,除非三个企业的计划数相同。第三种错误与之相类似,初学者也有以“企业个数×计划利润总额”为权数计算算术平均数,误以为表中的“计划利润总额”是平均每一个企业的计划任务。其实,表中文字中根本就没有“平均”之意,更何况还有一个“合计”计划利润总额为10000万元的资料,若为“平均”,就不能“合计”。第四种错误就是套用调和平均数公式。或是套用简单调和平均公式,或是以企业数为权数计算加权调和平均,或是以计划利润总额为权数计算调和平均,或是以企业个数与计划利润额之间的乘积为权数计算调和平均。这一错误产生的根源是:学习过程中没有正确理解统计平均数,只简单化地背一些公式,应用时就想当然地套用平均数公式。其实,与例1类似,计算相对数的平均数时,必须首先明白该相对数的基本公式,即分子是什么,分母是什么。然后计算“分子总和”与“分母总和”,将这两个总和相除,就是相应的“平均数”。所以,平均计划完成程度的真实含义应该是“总实际/总计划”,因为计划完成程度的一般公式是“实际/计划”。本例计算时,初学者根本不必猜测应该采用算术平均还是采用调和平均,也不必猜测应该以哪一项指标为权数,正确的思路是:由所给资料求出“分子总和”-25个企业总的实际利润,求出“分母总和”25个企业总的计划利润。因本例已经知道了各组企业的计划总额,所以需要推算“实际利润总额”,其推算过程应该是“计划数×计划完成程度”。即,实际总利润=(800 × 85% + 2200 × 95% + 6000 × 105% + 1000 × 115%)。而总计划为(800+2200+6000+1000),二者的对比在形式上是一个加权算术平均数公式。因此,本例的计算方法就称为“算术平均数”。若本例不是提供“计划利润总额”而是提供“实际利润总额”,则计算平均计划完成程度时需要推算“计划利润总额”。而计划利润总额的推算需要采用“实际利润/计划完成程度”,在形式上表现为(m/x),因此,此时的平均计划完成程度在形式上就属于“加权调和平均数”。依此类推,当计算若干村的“平均亩产”时,就应该把握住基本公式:平均亩产永远是“粮食总产量/总面积”,不论资料形式如何,只要求得“总产量”与“总面积”两项基本资料即可,若知道各村亩产及种植面积,则推算总产量即可,这在形式上是一个“加权算术平均”,但若已知各村亩产及总产量时,需要推算种植面积,这在形式上是一个“加权调和平均”;当计算若干个企业的“平均资金利润率”时,就应该把握住基本公式:平均资金利润率永远是“总利润/总资金”;计算若干商品或企业的平均销售利润率时,就应该把握基本公式:平均销售利润率永远是“总利润/总销售”。
[例3]设有三个车间报告期的产品生产情况如下表所示:

     

      要求:①若这三个车间是同一产品生产流水线上的三个阶段(工序),则平均不合格品率为多少?
②若这三个车间是独立生产完全相同产品的三个小组,则平均不合格品率是多少?
③若这三个车间不仅完全独立,且所生产的产品使用价值完全不同,产品的出厂价格分别为300元/件、400元/件、1000元/件,则应该如何计算它们的平均不合格品率?
[解题过程] ①平均合格品率        

                        =0.96325=96.325%
            平均不合格品率=1-96.325%=3.675%
          ②平均不合格品率=不合格产品总件数/全部产品总件数
 
=0.036875=3.69%

      ③平均不合格品率=不合格品产品总价值/全部产品总价值
598000/16100000=3.7143%

      [解题说明]本例分别三种情况计算平均不合格品率。①对于第一个计算要求,关键是必须注意几何平均法的应用条件与要求。几何平均虽然适合于计算比率与速度的平均,但却是有条件的:要求变量值的连乘积等于总比率或总速度,否则就不能采用几何平均法。实践中一般有四种情况需要应用几何平均数公式计算平均值,一种情况是“连续作业的车间平均合格率与平均不合格品率”,第二种情况是“平均发展速度与平均增长速度”,第三种情况是“复利条件下的平均利率”。第四种是一些特殊需要,如综合评价合成值或统计指数计算时可以用几何平均法。本小例最常见的错误是:误用加权算术平均或加权调和平均或简单算术平均公式计算平均不平均合格品率,这显然忽视了“连续作业车间”这一特定条件。另一个常见的错误是:直接对不合格品率采用几何平均法计算,这里显然又忽视了“变量值连乘积等于总比率或总速度”这一基本计算要求。因为三个车间合格率的连乘积正好等于全厂生产该产品的总合格率或最终合格率,而三个车间不合格品率的连乘却没有太大的实际意义。从概率意义看,三个车间合格率的连乘正表示“三道工序均合格”,这样的产品才能算是最终的合格品,而三个车间不合格品率连乘的概率含义却是“没有一道工序是合格的”,显然它并没有将所有不合格品包括在内,任何一道工序的不合格对于最终产品而言就是不合格的,因此只有当三道工序全部合格时才算真正的合格。所以本小题采用先计算平均合格率,再计算平均不合格品率的路线。正是同样的道理,计算平均增长速度就不能直接用几何平均数公式,而应该先计算平均发展速度(因为环比发展速度可以连乘而环比增长速度不能连乘);计算复利平均利率也不能直接用利率,而应该先计算平均的“本利率”,再减去100%以求得平均利率。②对于第二个计算要求,与例1、2类似,属于“相对数的平均数”,只要记住:不合格率是不合格产品数量与总产量之对比,因此平均不合格品率就是三个车间总的不合格品产量与全部产量的对比,因题中已经提供了不合格品数量,需要借助“总产量=不合格品件数/不合格品率”来推算三个车间的产品总量,在形式上就是一个调和平均数公式。这一小题容易犯的错误仍然是误用加权算术平均数。但必须注意的是,调和平均数公式中不允许变量值为零,因此若某一车间的不合格品率为零时,就不可也无法直接采用加权调和平均数公式计算平均不合格品率,而应该先求平均合格品率(用加权算术平均),再从100%中扣除平均合格品率。③对于第三个计算要求,要求学生灵活学习统计方法。当三个车间的产品不是同一类型时,直接用实物量计算平均合格品率或不合格品率是不合理的,因为计量单位不同。为此,需要将不同计算单位的产品转化为相同的计量单位,目前比较方便的做法就是转化为价值量(货币量)指标或劳动量(时间)指标进行计算,因此本小题的不合格品率计算时,分子分母全部改用“金额”指标。

作者:网站管理员 日期:2015-5-27 浏览次数:301
 
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